¿Son todos los números interesantes?

 

Fuente: Freepik.es

"Las matemáticas parecen dotarlo a uno de algo así como un nuevo sentido."

Charles Darwin (1809–1882).

¿Son todos los números interesantes? 

El conjunto de los números naturales , y el orígen del conteo

Los números naturales se emplean para contar (números ordinales en la lingüística) y también para ordenar (números cardinales, también en la lingüística). No se sabe cuándo el hombre empezó a contar ni cuándo se originaron los números naturales, y ambas interrogantes forman parte del interés de la etnomatemática, que es el estudio de las relaciones entre la matemática y las culturas, especialmente las prehistóricas. El término etnomatemática fue propuesto en 1977 por el matemático brasileño Ubiratàn D'Ambrosio (1932-2021).

A pesar de las lagunas existentes en cuanto al surgimiento del pensamiento numérico en el Hombre, un par de descubrimientos antropológicos ocurridos en África durante el siglo XX dan luz al respecto, situándolo al menos varias decenas de miles de años atrás. Estos hallazgos son el hueso de Lebombo y el hueso de Ishango, primitivos ejemplos de osteocultura con evidente contenido abstracto numérico, en el camino transitado por el Hombre desde la etapa salvaje a la bárbara.

El hueso de Lebombo es un peroné de babuino, descubierto en la década de 1970 en una cueva al oeste de las Montañas Lebombo, situadas entre Sudáfrica y Eswatini (antes Suazilandia), por el arqueólogo Peter Beaumont, y posee una antigüedad de entre 35000 y 44000 años. Tiene una fila de 29 marcas, un número especial que podría representar el conteo del mes sinódico, relacionado con las fases lunares y tal vez con la actividad menstrual, si bien esto no es más que una conjetura ya que el hueso está partido. Sin embargo, aporta evidencia del empleo de los números naturales para el conteo, y se trata del artefacto matemático más antiguo que se conoce.

Hueso de Lebombo, mostrando las marcas realizadas para actividades de conteo, como primitiva herramienta matemática. Fuente: Prehistorialdia.blogspot.com. Fotografía de autor desconocido.

Por otra parte, el hueso de Ishango es también un peroné de babuino, esta vez con un pedazo de cuarzo incrustado. El mismo fue descubierto en 1960 por el geólogo belga Jean de Heinzelin de Braucourt (1920-1998) en lo que era entonces el Congo Belga, específicamente en el área de Ishango, situada cerca de la cabecera del Nilo y del lago Eduardo, en la frontera actual entre Uganda y el Congo. El artefacto data aproximadamente del 20000 a. C. y se cree que fue empleado como palo de conteo (tally stick), ya que el hueso tiene un arreglo de muescas talladas en tres columnas, que abarcan toda su longitud, evidenciando la racionalidad del conteo. También se ha señalado que podría tratarse de un calendario lunar relacionado con ciclos menstruales, motivo por el cual algunos antropólogos feministas concluyen que el autor sería una mujer, considerada audazmente como "la primera matemática", una presunta Hipatia prehistórica, si se permite laalusión a la filósofa neoplatónica natural de Egipto (~355 a.C-~415 a.C.).

Hueso de Ishango. Una muestra precursora de la racionalidad matemática humana. Se encuentra actualmente en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales de Bruselas, en Bélgica. Fuente: Prehistorialdia.blogspot.com. Fotografía de autor desconocido.

Una vez que el número fue inventado, recorrió un largo camino hacia su madurez, la cual se produciría justo antes de la emergencia de los grandes filósofos y matemáticos griegos, pitagóricos y platónicos, a partir del Siglo IV a.C. Los primeros consideraban al número como un elemento divino y la base de todas las cosas, y los segundos lo admiraban como una entidad indispensable que daba forma a todas las ideas puras del Universo, por lo que desde entonces los números han formado parte de la civilización occidental, incluyendo eventuales aportes de las civilizaciones asiáticas y del Medio Oriente, de modo que la vida moderna sería simplemente inconcebible sin el uso de los números naturales.

Ciertos pueblos fueron desafortunados y no lograron desarrollar culturalmente un sistema de conteo y ordenamiento adecuado, lo cual limitó significativamente sus capacidades de avance intelectual y tecnológico. Pueblos primitivos como los pigmeos del África central, los bosquimanos y los zulúes del sur de África, los botocudos del Brasil, los indios de Tierra de Fuego (Tehuelches, Onas,  Alakalufes, y Yaganes), los Gamilaraay y los Arrernte de Australia, los Meriam melanesios de las Islas Murray o los veddas australoides de Sri Lanka, poseen sistemas de conteo muy elementales, y disponen de un lenguaje numérico limitado. Las lenguas de algunos de estos pueblos y otros similares prácticamente solo cuentan con palabras para los números 1 y 2, mientras que los demás números que también pueden nombrar los construyen a partir de estos, por simple acumulación. Además, algunos sistemas numéricos solamente tienen como entidades individuales a los números 1, 2 y "muchos", o alguna variante poco más o menos elaborada. Es interesante antropológicamente saber cómo lograron sobrevivir hasta los actuales tiempos sin recurrir a una cultura matemática compleja, si bien una de las causas es el elevado aislamiento de estos pueblos, y por ende su limitadas actividades de competencia. Poco a poco la transculturización que implica la interacción con la civilización moderna implicará la transición desde la etnomatematica a la matemática actual práctica empleada en las naciones a las que pertenecen y a las cuales están obligados a contribuir para su desarrollo pleno, siendo naciones jóvenes en su mayoría.

Volviendo a los números naturales, no hay un acuerdo en los matemáticos sobre si este conjunto empieza en cero o en uno. Si el cero se excluye de los números naturales al conjunto suele llamársele con alguno de los símbolos , , o , escritos en ese peculiar tipo de letra que se llama negrita de pizarra o blackboard bold, también llamada double strike, en donde ciertos trazos son dobles; mientras que si el cero se incluye en el conjunto a este último suele llamársele con el símbolo . Dependiendo de la aplicación el matemático trabaja con uno u otro conjunto, pero de lo cual no hay duda es que se trata de la entidad más importante de la aritmética y por tanto de todas las matemáticas, siendo conveniente revisar su fundamento más básico:  Los axiomas de Peano y los axionas ZFC.

Los axiomas de Peano y los axiomas ZFC

La definición formal de los números naturales puede establecerse mediante los 5 axiomas de Peano, establecidos en el Siglo XIX por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), con el fin de resolver una crisis presente debido a que se carecía de fundamentos rigurosos en las matemáticas, la cual era criticada por algunos por ser una disciplina que implicaba una Fe comparable a la de la Iglesia, al no estar disponible una fundamentación teórica estricta que diera soporte a los postulados y principios que la maquinaria matemática desarrollaba. Los axiomas son conceptos básicos que se asumen ciertos, y sirven como bloques fundamentales para construir una estructura más compleja.

Giuseppe Peano, circa 1910. Prolífico matemático italiano, de la Universidad de Turín, que contribuyó a la lógica matemática y la teoría de números. Fuente: School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland. Fotografía de autor desconocido.

Los 5 axiomas de Peano permiten la construcción formal de los números naturales de forma teórica. Para ello solo hacen falta las nociones de que existen el conjunto de los números naturales, el número 1 y la función "siguiente", que aplicada a un número natural permite obtener el que le sigue inmediatamente. Los 5 axionas de Peano son los siguientes postulados, considerando que el conjunto de números naturales es :

1. El 1 es un número natural.
2. Todo número natural n tiene un "siguiente" o "sucesor" n*. Este axioma se emplea para definir la suma.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces  n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números naturales, y dado un elemento cualquiera, si el sucesor también pertenece al conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este axioma es equivalente al llamado principio de inducción matemática.

Una vez establecidos estos postulados se procede a definir la operación suma y la operación producto de la aritmética a partir de ellos, empleando funciones de recursión. La lista anterior no es simplemente un conjunto de definiciones, sino que para el matemático es algo tan valioso como pueden ser para el devoto rabino los Diez Mandamientos de la Ley que Yahvé le entregó a Moisés en el Monte Sinaí, o las tres Leyes de Newton para quien estudia la mecánica clásica.

Un enfoque alternativo para construir a los números naturales es a través de la teoría de conjuntos, basada en  los denominados "axiomas ZFC", llamados así en honor a las dos personas que los establecieron, los matemáticos alemanes Ernst Zermelo (1871-1953) y Abraham Fraenkel (1891-1965), que dan origen a las dos primeras letras del acrónimo ZFC, y en donde la C (por choice o elección) se debe a la incorporación del llamado axioma de elección, el cual establece que para cada familia de conjuntos no vacíos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de ellos. Juntos, los axiomas ZFC dan soporte a la teoría de conjuntos moderna, y en consecuencia a los fundamentos de la matemática.

Ernst Zermelo, circa 1900, quien realizó contribuciones importantes a los fundamentos de las matemáticas, desarrollando la teoría axiomática de conjuntos ZFC. Fuente: www.gettyimages.co.uk. Fotografía de autor desconocido.

Abraham Fraenkel, circa 1945, coautor de la teoría ZFC. Fue un matemático alemán e israelí sionista que llegó a ser Rector de la Universidad Hebrea de Jerusalén en 1956. Fuente: Collección David B. Keidan Collection de Imágenes Digitales de los Archivos Sionistas Centrales. Fotografía de autor desconocido.

La importancia de los números naturales en matemáticas es inapreciable, a través de los señalados axiomas de Peano y los axiomas ZFC, que brindan consistencia la aritmética y la teoría de números, y en consecuencia a muchas otras áreas de las matemáticas que se soportan o derivan de ella.

En este sentido, es oportuno referir la frase del matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), quién dijera "Dios hizo a los enteros, todo lo demás es obra del hombre".

¿Todos los números naturales son interesantes?

La afirmación del título anterior pareciera que no tiene sentido, o que solamente pudiera ser correcta subjetivamente para un apasionado matemático, enamorado de la teoría de números. Sin embargo, se intentará exponer aquí una demostración semiformal de que en efecto todos los números naturales son interesantes, sin excepción.

Para poder demostrarlo, se debe conocer primero el principio de buena ordenación, el cual establece que en cualquier conjunto (o colección) de números naturales debe existir un número mínimo, vale decir, un número que no supera a cualquier otro del conjunto, con la condición de que el conjunto original no esté vacío. Es decir, este principio afirma que si algún número natural posee una determinada propiedad, como por ejemplo la de ser par, ser divisible por 7, ser primo, ser un cuadrado perfecto u otra, siempre existe un primer número en el conjunto con esa propiedad, el elemento mínimo del conjunto.

Entonces, el conjunto  de números naturales satisface el principio de buena ordenación para cualquier propiedad razonable concebible dentro de ese conjunto. En consecuencia, se establece que los números naturales están "bien ordenados", al cumplir el principio de buena ordenación referido.

Es importante destacar que otros conjuntos ordenados no lo satisfacen, como son el conjunto de los números enteros  (letra inicial del alemán zahlen, que significa "números") el cual contiene a los números naturales, sus opuestos o negativos y al cero, así como tampoco lo satisface el conjunto denso de los números reales .

La demostración de que todos los números naturales son interesantes se realiza por el método de contradicción o reducción al absurdo (reductio ad absurdum), que en matemáticas es una forma de argumento que intenta establecer una afirmación demostrando que el escenario opuesto conduciría en forma inevitable a una contradicción o situación absurda. El método de reducción al absurdo se emplea para demostrar una proposición evidenciando que si fuera falsa, el resultado sería imposible o absurdo.

En efecto, y volviendo al caso en estudio de los números interesantes, supóngase como verdadera la proposición de  que los números naturales pueden ser clasificados en una partición de  dos subconjuntos disjuntos no vacíos, uno con los números "interesantes", y otro con los números "irrelevantes", entendiendo que la condición de interesante implica que el número tiene al menos una propiedad en la cual destaca, por ejemplo, siendo el primero, el único o el último que la cumple, y que la condición de irrelevante implica que no hay ninguna de tales propiedades aplicable al número en estudio, de manera que este es un número que podrá considerarse como "aburrido".

Dado que el principio de buena ordenación señalado anteriormente establece que en todo subconjunto de números naturales existe siempre un número mínimo, el subconjunto de los números irrelevantes de la partición que se realizó a los números naturales poseerá un número determinado que es el más pequeño de esa entidad. Pero debido ahora a poseer esa peculiar condición, ese número particular se verá inmediatamente transformado en un número interesante, perdiendo su irrelevancia, pues ha adquirido el privilegio de ser el menor de los números irrelevantes, lo cual ahora obliga a extraerlo de ese subconjunto de números irrelevantes y añadirlo al subconjunto de los números interesantes. Al hacer este cambio, ocurrirá ahora que el mínimo de los irrelevantes será un nuevo número dentro de ese grupo, y aplicando el mismo argumento habrá que trasladarlo al subconjunto de los interesantes, y así sucesivamente, hasta que solo quede un número irrelevante. Pero este último número irrelevante tendrá la muy interesante propiedad de ser el único número irrelevante, y habrá también que trasladarlo al grupo de los interesantes por ese motivo y con esto, el grupo de los números irrelevantes se transforma en un conjunto vacío, lo que contradice la suposición original que establecía que la partición del conjunto de los números naturales era posible en dos subconjuntos, de lo que se deduce que esa suposición es falsa, concluyéndose que su opuesta es verdadera, lo que quiere decir que no existen números irrelevantes, y en consecuencia todos los números son interesantes, un resultado sorprendente, más aún para el profano, que es posible que haya metido a todos los números en el mismo saco de mediocridad, salvo tal vez alguna excepción, como por ejemplo el número 1, el número 10, el millón o el número terminal de lotería apostado hoy con ciega Fe.

A este resultado suele llamársele la paradoja de los números interesantes,  y seguramente cualquier matemático serio se rasgará las vestiduras escandalizándose excesivamente como el saduceo Caifás ante el Pleno del Sanedrín al acusar a Jesucristo, en relación a la simple pero intuitiva demostración expuesta, debido especialmente a la particular partición realizada y a las poco operacionales y muy antrópicas definiciones de lo que representa "interesante" e "irrelevante, que si bien son algo ambigüas desde el punto de vista matemático, en lo humano son válidas y objetivas.

Desde una perspectiva más social, un criterio para saber si un número es interesante o no pudiera ser el conocer si el mismo es lo suficientemente interesante para que se le haya construido una página en Wikipedia, donde se describan sus propiedades y el por qué es interesante. Durante algún tiempo, al menos hasta 2017, se creía por ejemplo que el número 291 no era interesante ya que carecía de un página en Wikipedia, siendo el menor de tales números "irrelevantes", pero entonces un grupo de matemáticos se abocó a la tarea de "rescatar" a 291, encontrándole ciertas propiedades, creando  la página correspondiente, y sacándole del peculiar grupo.

Otro criterio antropológico para establecer si un número es interesante o no es conociendo si está incluido en la Enciclopedia Electrónica de Secuencias de Enteros (OEIS, según su acrónimo en inglés),  la cual es una base de datos que registra secuencias de números enteros, siendo de utilidad en matemáticas y computación.

Logotipo de la OEIS. Autor: Tilman Piesk, 2011.

La OEIS tiene secuencias emblemáticas, como la sucesión de los célebres números primos (código A000040) o los números de Fibonacci (código A000045). Por lo menos hasta mayo de 2021 el primer número entero que no aparecía como una entrada en esa base de datos es el 20067, por lo que pudiera decirse qué es el primer provisional número irrelevante.

Se puede también mencionar un libro referencial de matemática recreativa y teoría de números elemental titulado The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, escrito por David Wells en 1986, de la editorial Penguin Books. En el libro, los números se añaden en orden creciente, concentrándose en los enteros, y es sorprendente la cantidad de propiedades que pueden tener cada uno de los números.

Cubierta de la primera edición del libro The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, de David Wells. Fuente: Amazon.com.

Terminando esta sección con el convencimiento de que todos los números son interesantes, se puede proceder a continuación a analizar unos pocos de ellos, empezando con la constante de Kaprekar.

El proceso de Kaprekar

El proceso de Kaprekar es un procedimiento o algoritmo iterativo (repetitivo). Se llama así en honor del matemático indio que lo descubrió, de nombre Dattatreya R. Kaprekar (1905–1986). El proceso establece que en cada iteración, se toma un número natural cualquiera, y a partir de él se crean dos nuevos números: El primero se obtiene reordenando en orden descendente las cifras del número original, y el segundo haciendo lo mismo, pero en orden ascendente. Seguidamente, se efectua una resta entre los dos números obtenidos, siendo el primero (el de orden descendente) el minuendo, y el segundo (el de orden ascendente) el sustraendo, obteniéndose un nuevo número, terminándo aquí la primera iteración. A este último número obtenido se le vuelve a aplicar el proceso de Kaprekar, hasta obtener un nuevo número, terminando la segunda iteración, y así sucesivamente, efectuando múltiples iteraciones.

Kaprekar demostró en 1949 que en el caso de que el número original sea de cuatro dígitos, esté escrito en la base decimal usual y tenga al menos dos cifras distintas, entonces luego de a lo sumo 7 iteraciones se alcanza el número 6174 en forma estacionaria (siendo un  "punto fijo"), sin posibilidad de que este cambie en iteraciones sucesivas, manteniéndose invariante. A este número 6174 al cual converge el número original luego de las sucesivas iteraciones del proceso de Kaprekar se le conoce como la constante de Kaprekar , y es el único número de cuatro dígitos en base 10 con esta propiedad. 

Por ejemplo, sea un número elegido al azar de 4 cifras, tal como el 9437. Aplicando la orimera iteración del proceso se Kaprekar obtiene que el número ordenado en forma descendente será el 9743 y el ordenado en forma ascendente será el 3479, efectuándose la sustracción:

9743 - 3479 = 6264

Terminando aquí la primera iteración, resultando el nuevo número natural 6264, que será la fuente para la siguiente iteración del proceso. En la segunda iteración, a partir de 6264 se obtiene:

6642-2466 = 4176

Efectuando una tercera iteración:

7641 - 1467 = 6174

Resumiendo, las iteraciones son las siguientes:

Numero inicial: 9437

Iteración 1: 9743 - 3479 = 6264

Iteración 2: 6642 - 2466 = 4176

Iteración 3: 7641 - 1467 = 6174

Iteración 4: 7641 - 1467 = 6174

Iteración 5: 7641 - 1467 = 6174

...

Se observa en este ejemplo que a partir de la tercera iteración el número obtenido 6274 (la constante de Kaprekar) permanece invariante a las iteraciones sucesivas, siendo un punto fijo. El proceso queda "estancado" en ese valor estacionario, sin posibilidad de evolucionar.  El número de cuatro dígitos 6174 actúa como un "agujero negro" matemático donde es imposible salir de él. Ningún otro número de cuatro dígitos tiene esa propiedad peculiar, salvo unas pocas excepciones triviales, por ejemplo cuando hay varias cifras repetidas en el número, como en 7777, que colapsa a cero como punto fijo en la primera iteración.

En el caso del número inicial 9437 se logró esta codición en la tercera iteración. Para otros números iniciales de cuatro dígitos la convergencia al 6174 puede tomar desde cero iteraciones hasta un máximo de 7, confición que fue lo demostrada por Kaprekar. Cabe señalar que en este proceso, todos los números que surgen de la resta, y también los números ordenados de menor a mayor y de mayor a menor son divisibles por 9.

Existen otros números que cumplen esta condición, cuando se considera un diferente número de dígitos y distintas bases de numeración (que no sea la decimal), y también se le suelen denominar constantes de Kaprekar.

6174: Una oportunidad didáctica lúdica en matemáticas, para la Educación Primaria

El proceso de Kaprekar aplicado a 6174 ofrece una oportunidad didáctica práctica, lúdica y divertida de la resta para los jóvenes estudiantes de Educación Primaria, y de la aplicación de un algoritmo (procedimiento matemático) a una edad temprana, para su ejecución en el año escolar en donde se aplica la operación matemática de la sustracción con números de más de dos cifras (3er. Grado en Venezuela). En efecto, la maestra puede pedir a los estudiantes en un concurso en forma de juego que apliquen el proceso de Kaprekar para determinar en cuántas iteraciones un número establecido de 4 cifras se convierte en 4176, y el estudiante que lo haga en el menor tiempo ganaría el juego. Más aún, si los estudiantes observan que les toma más de 7 iteraciones sabrían que han cometido un error, y entonces tendrán que revisar sus cálculos. Se trata de una oportunidad donde se estimula y refuerza la inteligencia matemática del alumno, la habilidad numérica y la comprensión algorítmica (anticipando la computación), así como también la competencia y el juego en un marco social, incluyendo además la posibilidad de que el propio estudiante detecte y corrija sus errores. La incorporación de esta actividad en el programa educativo redundaría en beneficios pedagógicos para fijar competencias en el proceso enseñanza-aprendizaje, sobre la base de aprender haciendo.

En este sentido, en agosto de 2019 Dalia Ventura, en un artículo de BBC News Mundo señaló que en la India, la empresa Scigram Technologies Foundation, una entidad sin fines de lucro con objetivos educativos a nivel rural, tomó el número 6174 y lo convirtió en una imagen bidimendional a color, donde se le asignó un color distinto a cada valor posible de la cantidad de pasos requeridos o iteraciones para llegar desde un número arbitrario de 4 dígitos hasta el punto fijo 6174 (de 0 a 7 pasos, como demostró Kaprekar), según la siguiente codificación de números en colores:

Código de colores para una representación bidimensional del número de iteraciones requeridas para llegar al punto fijo 6174 desde un número arbitrario de cuatro cifras. Fuente: BBC News Mundo. Imagen de autor desconocido.

A continuación se procedió a codificar un programa computacional en lenguaje Wolfram y se ejecutó dicho programa para todos y cada uno de los 10000 números naturales de cuatro cifras desde el 0000 hasta el 9999, y seguidamente se presentó en forma gráfica el patrón bidimensional que indica el número de iteraciones requeridas para llegar a 6174 correspondientes a cada número. Para construir la imagen se requieren dos coordenadas, una horizontal X y otra vertical Y. Se toman los dos primeros números por la derecha del número n de 4 dígitos dado y estos se colocan en el eje horizontal, y se toman los dos últimos números por la izquierda de n, colocándolos en el eje vertical, de esta manera el número completo n quedará representado por un punto o pixel en la cuadrícula, una vez establecidas sus dos coordenadas (par ordenado).

En efecto, y en un lenguaje más matemático, el eje vertical representa la parte entera por defecto del número n seleccionado dividido por cien, por ejemplo si el número original n fue 9437, entonces en el eje vertical se tendría la parte entera por defecto de 94,37, que es 94. Esto se indica en la gráfica como   donde el símbolo  indica la función suelo, (o piso) que se encarga de tomar el entero menor del número que tiene en su interior. Para el eje horizontal, se emplea la función n mod 100, que se encarga de tomar el residuo o resto (indicado por mod) de la división de n entre 100, obteniendo entonces los dos últimos dígitos del número n; en este caso 9437 mod 100 resulta en 37. El pixel correspondiente al número en la gráfica será el par ordenado con coordenadas (94,37), y como de observó en el ejemplo que el número 9437 requiere 3 iteraciones para llegar a 6174, entonces corresponderá a un píxel de color verde según el código de la figura antes mostrada.

Repitiendo esto para cada uno de los 10000 números de 4 cifras se obtiene la imagen siguiente, en forma de cuadrícula cartesiana, asombrosamente parecida a una alfombra persa, debido al patrón emergente recurrente y particularmente atractivo:

La alfombra de Kaprekar. Una representación bidimensional del número de iteraciones requeridas para llegar a 6174 desde un número arbitrario de 4 dígitos, dividido en dos partes, una horizontal y una vertical, y de acuerdo al código de colores referido en el texto. Fuente: https://mathworld.wolfram.com/KaprekarRoutine.html. Autor: Deutsch y Goldman, 2004.

La constante de Kaprekar

Al número 6274 se le llama constante de Kaprekar, en honor al descubridor de esta propiedad, el matemático indio referido Dattatreya R. Kaprekar, quien presentó esta peculiar propiedad del número 6174 en la Conferencia Matemática de Madrás (India), realizada en 1949 y que además realizó diversas aportaciones a la matemática recreativa en relación con la teoría de números. Kaprekar se graduó en la Universidad de Bombay, y trabajó exclusivamente como maestro de escuela en toda su carrera,  desde 1930 hasta 1962, en la localidad de Nashik, en Maharashtra, India.

Dattatreya R. Kaprekar. Matemático que contribuyó en India a la teoría de números y a la matemática recreativa. Fuente: Proyecto Polymath. Politécnico de Turín. Fotografía de autor desconocido.

Kaprekar ganó el premio matemático indio Wrangler R. P. Paranjpye, por sus contribuciones en relación a la teoría de números. El premio es nombrado así en honor al matemático y diplomático también indio Sir Raghunath Purushottam Paranjpye (1876–1966), quien fue el primer indio en lograr en 1899 el codiciado título de Senior Wrangler en la Universidad de Cambridge, que se otorga al estudiante (wrangler) que obtiene el primer puesto en las pruebas del tercer y último año de la Licenciatura de Matemáticas en esa exigente, competitiva y antigua universidad británica, y que es una posición de mérito que ha sido referida en ocasiones como el mayor logro intelectual alcanzable en Gran Bretaña. 

Sir Raghunath Purushottam Paranjpye en 1899, fotografiado en Cambridge, el año en que ganó el premio Senior Wrangler de la Universidad de Cambridge. En su honor se le dió nombre en la India a un importante premio matemático, que fue ganado en una de sus ediciones por el también indio D . R. Kaprekar. Fuente: The Graphic. Autor: W. Butcher.

Posteriormente, Paranjpye trabajó como administrador universitario y embajador de la India. Se trata de un logro intelectual de primer orden alcanzado por primera vez por un indio en plena época victoriana y durante el máximo explendor del  Imperio de la India o Raj Británico, transcurrido entre 1858 y 1947, que llenó la India de la riqueza y esplendor de la civilización occidental, y propició un formidable crecimiento comercial en esa nación asiática, trabajando duro bajo el entonces lema oficial colonial de El cielo ilumina nuestro camino, integrando a múltiples pueblos y credos religiosos en el subcontinente bajo la guíatura integral de la primera potencia mundial, política, industrial, militar, naval y científica en esa época, sin la cual la India no hubiera alcanzado el estatus democrático de desarrollo que actualmente posee. 

Sin embargo, los descubrimientos de Kaprekar no fueron adecuadamente difundidos más allá de alguna de las ciudades indias en su momento original, y no es sino hasta el año 1975 cuando el filósofo y periodista americano Martin Gardner (1914-2010) escribió sobre Kaprekar en su columna mensual titulada Mathematical Games de la influyente revista de divulgación científica estadounidense Scientific American, en su edición de marzo de 1975, impulsando el redescubrimiento de sus aportes y el reconocimiento del justo mérito a la labor del matemático indio.  Gardner fue uno de los principales promotores de la matemática recreativa a través de la mencionada columna, la cual estuvo activa bajo su dirección durante décadas, y también fue autor de muchas obras de matemáticas, a la que hay que añadir su aguda y eficaz crítica a todo tipo de farsantes pseudociencias.

Martin Gardner, autor de Mathematical Games en la revista Scientific American. Fuente: MFO. Autor: Konrad Jacobs.

Para números que tienen un número de dígitos diferentes a 4, así como también para números expresados en un sistema de numeración diferente al decimal, el proceso de Kaprekar descrito puede en general terminar en otros puntos fijos, o bien en ciclos que se repiten, dependiendo del número de partida. Así, por ejemplo en exploraciones posteriores se descubrió que el mismo fenómeno ocurre cuando en vez de empezar con números de cuatro dígitos se hace con los de tres, siendo 495 el punto fijo al cual converge el número inicial, por ejemplo 791, luego de cierto número de iteraciones.

Números "normales"

Como se indicó, el conjunto de los números reales  es mucho más amplio que el de los números naturales y suele ser el conjunto denso utilizado en la mayoría de las operaciones matemáticas de la ciencia y la ingeniería. En forma general, los números reales incluyen a los números naturales, a los números enteros,  a los números racionales o fraccionarios y a los números irracionales, tanto positivos como negativos, además del cero.

Es oportuno describir brevemente lo que en matemáticas se conoce como un número simplemente normal, un número normal y un número absolutamente normal. Aquí la "normalidad" del número solamente está asociada a la variabilidad estadística de los dígitos que componen un número que posea infinitas cifras, por ejemplo uno irracional, como  .

El que un número sea simplemente normal significa que ningún dígito aparece con más frecuencia que cualquier otro. Es decir, si el número está expresado en una base b (por ejemplo, para la base decimal b=10), se dice que el número será simplemente normal en esa base si su secuencia infinita de dígitos está uniformemente distribuida, en el sentido de que cada uno de sus b posibles dígitos aparece con una frecuencia 1/b. Por ejemplo,  si b=10, la probabilidad que el próximo dígito en una posición dada sea 7, es igual a 1/10.

Si un número es normal, ninguna combinación finita de dígitos de una longitud dada puede aparecer con más frecuencia que cualquier otra combinación de la misma longitud. Es decir, para que un número sea normal en la base b, debe ocurrir que dado un número entero positivo n, todas las cadenas posibles de n dígitos de longitud deben tener una frecuencia de aparición  igual a . Por ejemplo, si b=10 y n=2, la probabilidad de que el próximo par de dígitos consecutivos en una posición dada sea 28, es igual a 1/100, y también si b=10 y n=3, la probabilidad de que el próximo trío de dígitos consecutivos en una posición dada sea por ejemplo 976, es igual a 1/1000.

Se dice que un número es absolutamente normal si es normal en todas las bases enteras mayores o iguales a 2, incluyendo las representaciones en base decimal binaria, hexadecimal y cualquier otra.

Obviamente, ningún número racional (cociente de dos enteros) es normal, ya que o bien es un número decimal exacto (por ejemplo 0,6), o tiene una estructura periódica, en forma de número periódico puro (tal como 0,333...) o es un número periódico mixto (como 0,0111...)  , lo cual indica que no hay una igualdad de probabilidad para encontrar dígitos en su desarrollo decimal. Estudios computacionales realizados sobre parte de los infinitos dígitos de los emblemáticos números π, e y  han conjeturado que esos números posiblemente son normales, pero hasta ahora ello no ha sido demostrado y es fuente de investigación.

La definición de número normal fue presentada en 1909 por el matemático y político francés Émile Borel (1871-1956) quien fuera  diputado por el Partido Republicano y Radical Socialista, entidad que además de su presunto liberalismo y anticlericalismo declarado estaba en contra del voto para la mujer, con evidente contradicción del socialismo que promovían.

El matemático Émile Borel, fotografiado en 1929 cuando era diputado de l'Aveyron. Llegó a ser Ministro de la Marina Francesa y fue miembro de la Resistencia durante la Segunda Guerra Mundial.  Realizó aportes en probabilidad y en teoría de la medida. Fuente: Biblioteca Nacional de Francia. Fotografía de autor desconocido.

Borel también demostró que la mayoría de los números reales son normales, pero su demostración no es constructiva, lo que quiere decir que no proporciona un método para determinar si un número real dado es o no normal, es decir que no explica como "construir" sistemáticamente a dichos números, de manera que son muy pocos los números normales que se hoy conocen. 

Es sorprendente el parecido de los números con las personas, dado que entonces se presume que la mayoría de ellos son "normales", pero paradójicamente es extremadamente difícil encontrar uno que se comporte de esa manera. Esto recuerda la Paradoja de Fermi de la astrobiología, que establece que si las leyes físicas, biológicas y antropológicas soportan que deberían haber muchas civilizaciones extraterrestres en la galaxia con capacidad para comunicarse por medio de la radioastronomía, entonces ¿Por qué razón no se ha detectado el menor atisbo de alguna? Está paradoja fue establecida en 1950 por el físico nuclear italiano-estadounidense Enrico Fermi (1901-1954), Premio Nobel de Física de 1938, y está relacionada con las investigaciones de los proyectos tipo SETI, que estudia la búsqueda de la existencialmente relevante inteligencia extraterrestre, de interés considerando la significativa mengua de la de tipo terrestre en las últimas décadas, especialmente en el aspecto político, económico, humanista y ambiental.

Enrico Fermi, en los años 40 del siglo XX, autor de la Paradoja de Fermi en relación a la ausencia de contacto con civilizaciones extraterrestres, la cual presenta cierta analogía con la ausencia de identificación de números normales. Fuente: Wikimedia Commons. Fotografía de autor desconocido.

También puede observarse cierta similitud con una situación peculiar de la cultura popular presentada en el largometraje Mystery Men de Universal, dirigida por Kinka Usher (n. 1960) y estrenada en 1999, la cual es una película de acción y comedia del subgénero de superhéroes, que trata sobre el reclutamiento de una banda disfuncional y emocionalmente atormentada de superhéroes para la defensa de la ciudad Champion City, los cuales poseen muy peculiares habilidades. Entre ellos el actor americano Kel Mitchell (n. 1978) es El chico invisible, quien es capaz de volverse invisible "solamente cuando nadie lo ve", ni siquiera él mismo, debido a que "si llegara a verse, deja de ser invisible". En la parte final de la película se advierte que su poder sí es real, a pesar de la paradoja autorreferencial mencionada, en donde se observa un paralelismo con lo señalado de los muy esquivos de encontrar números normales de la matemática.

La película es considerada como un clásico de culto por muchos de los aficionados a las películas de superhéroes. 

Cartel promocional de la película Mystery Men, de 1999. A la izquierda en el centro se ubica  El chico invisible, que lo era ¡Solo cuando nadie lo podíaAmaxon.com.te: Amazon.com. Autor: Universal Studios.

Los números normales son también importantes debido a que la variabilidad estadística de sus dígitos permite la codificación de una vasta cantidad de información, donde el principal ejemplo de esta condición lo representa el sorprendente y casi divino número de Champernowne.

El número de Champernowne 

Afortunadamente y a pesar de su timidez y dificultad para ubicar, han podido descubrirse o construirse unos pocos números normales, dentro de los cuales existe uno que tiene válida importancia, y que se conoce como el número de Champernowne, un número decimal infinito no periódico, el cual llama la atención por su originalidad y alcance, pues posee relevantes propiedades.

David G. Champernowne (1912–2000) fue un matemático y economista inglés, quién publicó un artículo en 1933 mientras aún era un estudiante no graduado en la Universidad de Cambridge, en donde concibió lo que hoy se conoce como la constante de Champernowne, denotada como , la cual es una constante real que además es lo que se conoce como un número trascendente, pues el mismo no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales, una propiedad que tienen otros números irracionales famosos como π y e. El artículo publicado señalado se tituló "La construcción de decimales normales en la escala de 10", y fue publicado en Journal of London Mathematical Society.

David G. Champernowne, matemático estadístico y economista de la Universidad de Cambridge.  Fuente: www.hetwebsite.net. Fotografía de autor desconocido.

La constante de Champernowne se define como un número en base 10 que tiene 0 como parte entera, y su parte decimal se forma concatenando números enteros empezando con 1 en las décimas 2 en las centésimas, 3 en las milésimas y así sucesivamente, con extensión infinita, añadiendo siempre un número que es una unidad mayor al anterior, sin que la secuencia termine, es decir:

Este número se correspone con la secuencia A033307 en la ya mencionada base de datos OEIS. Champernowne demostró en su artículo de 1933 que este número es normal en la base 10 indicada, y el matemático alemán Kurt Mahler (1903-1988) demostró en 1961 que es un número trascendente, y en consecuencia también es irracional desde punto de vista matemático, si bien desde el punto de vista lingüístico y dada la simplicidad con la cual puede construirse, es el más "racional" de los números irracionales, los cual es paradójico.

Kurt Mahler en 1970, quién demostró qué número de Champernowne es trascendente y por ende irracional. Fuente: opc.mfo.de. Autor:  Konrad Jacobs.

Pareciera que se trata de un número que no es muy interesante, o tal vez casi irrelevante, pero la realidad es muy distinta, pues tiene la particular propiedad de que dada su normalidad cualquier número finito que pueda concebirse estará incluido en alguna parte de sus digitos. De esta manera se puede considerar la codificación de cualquier texto en algún idioma, para convertirlo en un número con la ayuda de un computador por ejemplo empleando un código tal que A=1, B=2, C=3, etc., y concatenando las letras; y entonces se tiene la garantía de que esa peculiar cantidad (el texto codificado) se encontrará en algún lugar de los infinitos decimales del número de Champernowne, sí bien en un sitio desconocido a priori, lo que haría desafiante a la búsqueda.

Esto quiere decir que adentro de los dígitos de  se encuentra información codificada que corresponde, por ejemplo, al número de cédula de identidad, al texto de los nombres y apellidos de cada uno de los lectores, al título del libro y la película favorita de estos, a la descripción literal detallada de todos sus logros y triunfos (así como también de todos sus fracasos y pecados), incluyendo además toda la historia de la Humanidad, y la cronología detallada de los hechos futuros que han de venir, absolutamente todo codificado en este peculiar número donde con lo único que hay que armarse es de paciencia para buscar a lo largo del mismo. Se trata entonces de un paradójico desafío a lo que es la capacidad de codificación de la información, que pareciera estar al filo de lo establecido en los teoremas canónicos de la teoría de la información, creada por el ingeniero eléctrico estadounidense Claude E. Shannon (1916-2001) a finales de la década de 1940. Pareciera que  es un número casi de adoración mística, que le hubiera fascinado al padre de las matemáticas, el filósofo griego Pitágoras (~569 a.C.-~475 a.C.) y que seguramente lo habría ocultado para revelarlo y discutirlo solo con los iniciados de alto rango de su particular escuela de pensamiento y comportamiento, que tantas similitudes tendría con el cristianismo posterior.

El presunto código numérico de la Biblia

Esta capacidad de codificar una gran cantidad de información dentro del número de Champernowne inevitablemente obliga a mencionar por analogía una de las iniciativas recientes terrenales que ha pretendido darle un significado numérico adicional al ya de por sí valioso legado religioso, histórico, semántico, moral y conductual de la Biblia, ya sea en su versión judía o cristiana, las cuales se soportan en el polémico libro El Código Secreto de la Biblia, un best-seller publicado en los EE.UU. en  1997, que fue escrito por el periodista Michael Drosnin (1946-2020), quien sostenía la hipótesis de la existencia de un presunto código bíblico dentro de la Torá judía (el Pentateuco de la Biblia). Este descubrimiento se le atribuye al matemático israelí de orígen letón Eliyahu Rips (n. 1948), quien en 1994 junto a Doron Witztum y Yoav Rosenberg, publicaron un artículo en la revista Statistical Science titulado "Secuencias equidistantes de letras en el Libro de Génesis" en el cual afirmaban que habían encontrado mensajes codificados en el texto hebreo perteneciente al Libro del Génesis, empleando un programa computacional a tal efecto.

Drosnin sostenía audazmente que el código de la Biblia predice el futuro, que los eventos pueden ser afectados por las acciones humanas, y que por ejemplo muchos de los asesinatos y desastres relevantes, tanto pasados como futuros, están escritos en la Biblia en forma codificada, donde las letras de estos mensajes no se hallan de manera concatenada sino que están separadas por una cantidad fija de símbolos, pudiendo los mensajes presentarse en forma horizontal, vertical o diagonal en el texto bíblico, y que el código puede ser interpretado mediante el empleo de un programa de computadora, basado en el que realizara Rips.

Michael Drosnin, en fecha indeterminada. Fuente: The New York Times. Autor: Alamy.

Eliyahu Rips en 2017. En 1969, mientras estudiaba en la Universidad de Letonia, Rips intentó sin éxito quemarse a lo sacerdote bonzo, en protesta contra la invasión soviética de Checoslovaquia. Fuente: Wikimedia Commons.  Autor. Sahkisahki.

Portada del libro El Código Secreto de la Biblia de Michael Drosnin. Fuente Amazon.com.

Actualmente existe una gran cantidad de personas que utilizan estos programas para inspeccionar la Torá acerca de los eventos del presente y el futuro, a la caza de alguna "revelación" importante. Cabe señalar que los antagonistas del código de la Biblia desarrollaron un programa similar para explorar otros libros a los fines de determinar si se repetían estás "proféticas" revelaciones y hechos históricos, obteniendo resultados similares al aplicarlo por ejemplo al texto de la novela Moby Dick del escritor estadounidense Herman Melville (1819-1891). De esta manera, el mítico código de la Biblia no pasa de ser otro curioso divertimento de matemática recreativa, embebido del atractivo que implica el misterio de tratar de conocer el futuro por parte de los seres sensibles y temerosos de Dios que tienen Fe en ello, pudiendo citar a un sabio bieloruso del siglo XVIII llamado El Genio del Vilna, cuyo nombre era Elijahu ben Shlomó Zalman (1720-1797) quien fue un rabino judío, erudito del Talmud y la Cábala y que dijera con dramatismo en relación a lo que se ha descrito en este apartado: 

"Es regla que todo lo que fue, es y será hasta el fin de los tiempos está incluido en la Torá, desde la primera hasta la última palabra. Y no sólo en un sentido general, sino hasta el menor detalle de cada especie y cada uno de sus individuos, y hasta el detalle de cada detalle de cuanto le ocurra a este desde que nace hasta que deja de existir.”

Elijahu ben Shlomó Zalman, el Genio de Vilma. Fuente: The Yivo Institute for Jewish Research's Exhibt Mattityahu Strashun.

Volviendo al número de Champernowne, no hay que cantar victoria de que en el mismo este codificada toda la información útil para la Humanidad, sino que también y en mayor medida seguramente se incluirán en el mismo todas las villanías y aberraciones posibles, así como también infinitas mentiras y falacias, de manera que separar la paja del trigo sería una tarea tan monumental como la propia ubicación del sitio dónde pudiera empezar una parte de texto verdadero y que representará un beneficio para el Hombre. ¿Sería esto factible? El teorema de Gödel se opone a ello.

El teorema de Gödel como barrera para conocer toda la realidad matemática

En relación a este punto cabe destacar que el ideal del influyente matemático alemán David Hilbert (1862-1943) para las matemáticas a principios de Siglo XX sostenía que debía ser posible construir un sistema matemático que, dada una proposición matemática, esta fuera evaluada por el sistema y el mismo determinara inequívocamente si la proposición es demostrable o no, pudiendo entonces separar todas las proposiciones verdaderas de las falsas. Este ideal era compartido por muchos de los grandes matemáticos de esa época.

Sin embargo, todo cambió escandalósamente en 1931, cuando el matemático, lógico y filósofo austríaco Kurt F. Gödel (1906-1978), demostró mediante un teorema que luego llevó el nombre de teorema de incompletitud de Gödel que el anhelado sistema de Hilbert no existe, ni siquiera para un marco de trabajo tan reducido como la aritmética, cuyos elementos fundacionales son los axiomas de Peano referidos al inicio de este artículo. Entonces, a partir de ese teorema se concluye que la deducción formal es insuficiente para conocer la veracidad o falsedad de una cantidad infinita de proposiciones, que pasan a ser entonces "indecidibles" dentro de la misma aritmética, lo cual representó un duro golpe para la misma, pues demostraba que la aritmética era incompleta en el marco interno de trabajo de sus propios axiomas, y en consecuencia también es incompleto todo aquello que se construye a partir de ella, como por ejemplo la teoría de números, el álgebra, el análisis real, el análisis complejo y muchas otras áreas de interés. Esto hizo temblar el formalismo matemático, pero a su vez constituyó una fuente inspiradora de investigación en múltiples áreas matemáticas, relacionadas con diversos teoremas de incompletitud que se desarrollaron a posteriori.

Kurt F. Gödel, circa 1926. Fuent www.arithmeum.uni-bonn.de. Fotografía de autor desconocido.

El teorema de Gödel representa entonces una barrera infranqueable cuando se requiere conocer si ciertas proposiciones (en particular algunas de tipo autorreferencial) son verdaderas o falsas, lo cual es posible que no sea factible de decidir dentro de las matemáticas humanas actuales, lo cual tampoco ayuda para tratar de determinar qué eventuales proposiciones codificadas situadas a partir de una posición determinada dentro del número de Champernowne pudieran ser correctas, falsas o indemostrables.

El rol del número a la vista de la física digital: Los nuevos pitagóricos

La física digital es un término acuñado en 1978 por el físico estadounidense Edward Fredkin (n. 1934), y se basa en la idea del ingeniero y pionero computista alemán Konrad Suze (1910-1995), considerado el inventor de la computadora moderna, de que el Universo puede describirse como información, y considerarse como una gran computadora digital, o como la salida de un programa computacional, ya sea de tipo determinístico o probabilístico.

En este sentido, la física digital sugiere que existe un programa computacional que rige la evolución del Universo, lo cual pudiera ser mediante un gigantesco autómata celular. Esta idea tiene también fundamento en la consideración del físico alemán  Rolf Landauer (1927-1999), de que la física es información, siendo uno de los ejemplos más tangibles el hecho de que la entropía de un sistema es directamente expresable por medio de cierto número de bits, codificando sus posibles estados termodinámicos. En consecuencia, la importancia del número al nivel físico trasciende a la que ya le correspondía su pertenencia al dominio abstracto e ideal de las matemáticas.

Edward Fredkin  operando una computadora PDP-1, circa 1960. El personaje del Dr. Stephen Falken en la película WarGames de 1984 y dirigida por John Badham (n. 1939), un techno-thriller de MGM que se desarrolla en la Guerra Fría, habría sido  modelado en base a la personalidad de Fredkin. Fuente: Computer History Museum. Fotografía de autor desconocido.

Konrad Suze, pionero de la computación moderna, en 1992. Completó la primera computadora digital programable automática, la computadora electromecánica alemana Z3 de 1941. Fuente: Wikimedia Commons. Autor: Wolfgang Hunscher.

Llevando estas ideas de la física digital a un extremo más, puede mencionarse para finalizar a la Hipótesis del Universo Matemático (MUH en inglés), la cual es una especulativa Teoría del Todo propuesta por el físico y cosmólogo sueco Max Tegmark (n. 1967), quien sostiene que la realidad física es una estructura matemática es decir, que el universo físico no está solamente descrito por medio de matemáticas sino que en sí mismo es específicamente una estructura matemática. De esta manera, la existencia matemática iguala a la existencia física, y todas las estructuras que existen matemáticamente también lo hacen físicamente. Para Tegmark los observadores, incluidos los seres humanos, serían subestructuras conscientes de sí mismas o self-aware, (SAS en inglés), sosteniendo que en cualquier estructura matemática lo suficientemente compleja para contener tales subestructuras SAS, estas se percibirán a sí mismas como si estuvieran existiendo en un mundo físico "real". Se trata de una hipótesis cargada de pitagorismo o platonismo al postular la existencia de entidades matemáticas, donde nuevamente el número adquiere especial protagonismo, negando la existencia de algo que no sea un objeto matemático.

El físico Max Tegmark, profesor del MIT en 2006, quién propone la Hipótesis del Universo matemático. Fuente: Wikimedia Commons. Autor: Physicistjedi en Wikipedia, en idioma inglés.

Se ha terminado una breve revista sobre algunos aspectos del mundo de los números, su alcance asombroso, sus limitaciones y promesas, de manera que la próxima vez que se escriba o piense en un número, podrá considerarse que el mismo es una entidad única y definitivamente interesante, ya sea por lo que representa, por su significado o valor antropológico, o por la esencia misma de su valor numérico abstracto, otorgado por el Hombre, creador de las matemáticas, cuyos misterios, posibilidades y tal vez desilusiones finales aún distan por descubrir.

Fabián Robledo Upegui.

Octubre, 2021.